Las medidas de Gibbs, inicialmente definidas en el marco de la mecánica estadística de equilibrio, son hoy en día empleadas como modelos estocásticos en numerosas aplicaciones (reconstrucción de imágenes, esquemas de muestreo, algoritmos de simulación, . . . ). Su popularidad se explica, en parte, por la existencia de una teoría matemática completa que conduce a un catálogo extenso de propiedades y atributos de relevancia práctica. Esta misma teoría constituye, a la vez, la base matemática de la mecánica estadística de equilibrio clásica (en el sentido de no cuántica).

El curso tiene como objetivo la exposición de esta teoría, en sus aspectos fundamentales, para sistemas en redes, los que están formados por una cantidad enumerable de copias de un mismo espacio microscópico (espines, partículas, pixeles).

Durante el curso se introduce la noción de medida de Gibbs y se demuestran sus propiedades principales, esto servirá, a la vez, para establecer el cuadro matemático de la mecánica estadística y la trascripción matemática de los fenómenos más importantes: transiciones de fase, extremalidad y ergodicidad, fases puras, principio variacional, equivalencia de ensembles, grandes desvíos.

Posteriormente se estudiará, usando como ilustración los modelos más estudiados (Ising, Potts) técnicas, conceptos y resultados adaptados a las diferentes regiones de diagramas de fase: argumento de Peierls, comportamiento crítico, desigualdades de correlación, criterios de unicidad, desarrollos perturbativos.

El curso no supone mayores prerrequisitos, más allá de una cierta madurez matemática y el interés en razonamientos y conceptos probabilísticos. Una audiencia combinada (probabilistas, estadísticos, físicos, matemáticos especializados en otras áreas) será bienvenida.

Contenidos mínimos

El curso contempla temáticas referidas a bases matemáticas, equilibrio, medidas de Gibas, principio variacional, bajas temperaturas, altas temperaturas y temperaturas intermedias.

Para comunicarse con el Dr. Fernández dirigirse a E-mail: Roberto.Fernandez@univ-rouen.fr

Programa

Bibliografía